Como a estatística pode nos ajudar: Como a estatística pode nos ajudar

WebQuest Estatística

Atividade (WebQuest) da disciplina de Estatística aplicada no curso de Secretariado Executivo 2ª semestre da Fatec de Carapicuíba administrado pelo professor Luciano Condori como Atividade Complementar."

Autor: Fabiola Costa Fernandes

O que é estatística?

A Estatística está presente em todas as áreas da ciência que envolvam o planejamento do experimento, a construção de modelos, a coleta, o processamento e a análise de dados e

sua consequente transformação em informação, para postular, refutar ou validar hipóteses científicas sobre um fenômeno observável. Desta forma, a Estatística pode ser pensada como a ciência de aprendizagem a partir de dados. No mundo moderno, a alta competitividade na busca de tecnologias e de mercados tem provocado uma constante corrida pela informação. Essa é uma tendência crescente e irreversível. O aprendizado a partir de dados é um dos desafios mais relevantes da era da informação em que vivemos. Em linhas gerais, podemos dizer que a Estatística, com base na Teoria das Probabilidades, fornece técnicas e métodos de análise de dados que auxiliam o processo de tomada de decisão nos mais variados problemas onde existe incerteza.

Como a estatística pode nos ajudar?

A estatística é uma ciência multidisciplinar que abrange praticamente todas as áreas do conhecimento humano. Podem fazer analises e utilizar de resultados estatísticos um economista, agrônomo, químico, geólogo, matemático, biólogo, sociólogo, psicólogo e cientista político. Neste sentido a estatística tem sido utilizada para a otimização de recursos econômicos, aumento da qualidade e produtividade, na analise de decisões políticas e judiciais e tantas outras. Em entrevista ao site do IBGE (2007), o Presidente do Conselho Federal de Estatística, Francisco de Paula Buscácio, “A estatística tem por objetivo fornecer métodos e técnicas para que possa, racionalmente, lidar com situações de incerteza”.

Produção acadêmica de Carlos Eduardo da Costa :A ESTATÍSTICA NO MUNDO MODERNO

Tipos de estatística:

A grosso modo podemos dividir a estatística em três áreas: Estatística descritiva, probabilidade e inferência estatística .

Estatística descritiva: Encarregada da coleta, a organização, a consistência dos dados e interpretações iniciais.

Probabilidade: Pode ser pensada como a teoria matemática utilizada para se estudar a incerteza oriunda de fenômenos de caráter aleatório.

Inferência estatística: (Estatística Indutiva): É o estudo de técnicas (com base nas probabilidades) que possibilitam a extrapolação, a um grande conjunto de dados, das informações e conclusões a partir de subconjuntos de valores, usualmente de dimensão muito menos (amostragem).

Conceitos Fundamentais:

População: Conjunto total de elementos que possuem pelo menos uma característica em comum

. Amostra: É um subconjunto da população, que é examinada com o propósito de tirar conclusões sobre a esta população.

Censo: Coleção de dados relativos de toda uma população. Dado Estatístico: É um dado numérico, considerado matéria-prima, sobre o qual irá aplicar os métodos estatísticos.

Parâmetro: É uma medida numérica que descreve uma característica da população.

Estatística: Medida numérica que descreve a característica de uma amostra. Variáveis: Informações para realizar a pesquisa. Variável Quantitativa: Está relacionado a um valor numérico.

Variável Quantitativa: Está relacionado a um valor numérico.

Variável Qualitativa: Está relacionado a uma qualidade ou atributo. A variável quantitativa, pode ser classificada em: Variável Quantitativa Discreta: Pode assumir certos valores, números inteiros. Variável Quantitativa Contínua: Assume valores em um intervalo real. A variável qualitativa, pode ser classificada em: Variável Qualitativa Ordinal: Se refere a categoria, ou seja, pode ser ordenada mesmo não sendo numérica. Variável Qualitativa Nominal: Não é numérica e não há ordenação

A estatística na prática:

Dados não agrupados:

Dados não agrupados – Média, mediana e moda

Média, mediana e moda são as medidas de localização central mais frequentemente utilizadas.

Tomem-se como dados as seguintes classificações de um aluno no final do1º período do 12º ano:

12, 13, 13, 13, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 17

Média - A média aritmética calcula-se somando as classificações, dividindo este total pelo seu número:

(12 + 13 + 13 + 13 + 14 + 15 + 15 + 16 + 16 + 17 + 17 ) / 11 = 14,6

Moda - É o valor com maior frequência.

13.

Mediana – É a observação que separa 50% dos valores mais baixos dos 50% mais altos.

Tendo as classificações ordenadas, verifica-se facilmente que o 15 separa 50% das classificações mais baixas (12, 13, 13, 13 e 14) de 50% das classificações mais altas (15, 16, 16, 17 e 17).

Nota: Como o número de observações era ímpar (11) havia um valor central. Nos casos em que o número de observações é par temos dois valores centrais. Então, para obter a mediana, calcula-se a sua média destes.

Segue vídeos Explicativos:

Classificação de variáveis

Dados agrupados e não agrupados:

Freqüência absoluta relativa acumulada

Moda, Média e Mediana

Distribuição de frequências

A distribuição de frequências é um agrupamento de dados em classes, de tal forma que contabilizamos o número de ocorrências em cada classe. O número de ocorrências de uma determinada classe recebe o nome de frequência absoluta. O objetivo é apresentar os dados de uma maneira mais concisa e que nos permita extrair informação sobre seu comportamento. A seguir, apresentamos algumas definições necessárias à construção da distribuição de frequências.

Frequência absoluta (ƒi): É o número de observações correspondente a cada classe. A frequência absoluta é, geralmente, chamada apenas de frequência.

Frequência relativa (ƒri): É o quociente entre a frequência absoluta da classe correspondente e a soma das frequências (total observado), isto é, $\displaystyle f_{ri}=\frac{f_i}{\sum_{j}f_j}$ onde n representa o número total de observações.

Frequência percentual (pi): É obtida multiplicando a frequência relativa por 100%.

Frequência acumulada: É o total acumulado (soma) de todas as classes anteriores até a classe atual. Pode ser: frequência acumulada absoluta (Fi), frequência acumulada relativa (Fri), ou frequência acumulada percentual (Pi).

Distribuição de frequência pontual: dados quantitativos discretos

A construção de uma tabela de distribuição de frequência pontual é equivalente à construção de uma tabela simples, onde se listam os diferentes valores observados da variável com suas frequências absolutas, denotadas por (ƒi) (o índice i corresponde ao número de linhas da Tabela) como é mostrado na Tabela abaixo. Utilizamos a distribuição de frequência pontual quando se trabalha com dados discretos. Um gráfico utilizado para representar este tipo de distribuição de frequência é o Gráfico de Barras.

Exemplo 1.6.1:

Considere os dados do Exemplo 1.3.3. Construa a distribuição de frequências para este conjunto de dados e o gráfico de barras.

Número de pessoas com diabetes	Frequência (ƒi)	Frequência relativa (ƒri)	Frequência percentual	Frequência acumulada
7	1	0,05	5	5
8	2	0,1	10	15
9	5	0,25	25	40
10	8	0,4	40	80
11	3	0,15	15	95
12	1	0,05	5	100

Vídeo Explicativo :

Histograma

Medidas de dispersão:

No estudo da Estatística, dispomos de algumas estratégias para verificar se os valores apresentados em um conjunto de dados estão dispersos ou não e o quão distantes um do outro eles podem estar. As ferramentas empregadas para que isso seja possível são classificadas como medidas de dispersão e denominadas de variância, desvio padrão e coeficiente de variação. Vejamos o que representa cada uma delas:

Variância:

Dado um conjunto de dados, a variância é uma medida de dispersão que mostra o quão distante cada valor desse conjunto está do valor central (médio).
Quanto menor é a variância, mais próximos os valores estão da média; mas quanto maior ela é, mais os valores estão distantes da média.
Considere que x₁, x₂, …, x_n são os n elementos de uma amostra e que x é a média aritmética desses elementos. O cálculo da variância amostral é dado por:

Var. amostral = (x₁ – x)² + (x₂ – x)² + (x₃ – x)² + ... + (x_n – x)²
n – 1
Se, em contrapartida, quisermos calcular a variância populacional, consideraremos todos os elementos da população, e não apenas de uma amostra. Nesse caso, o cálculo possui uma pequena diferença. Observe:

Var. populacional = (x₁ – x)² + (x₂ – x)² + (x₃ – x)² + ... + (x_n – x)²
n

Desvio Padrão:

O desvio padrão é capaz de identificar o “erro” em um conjunto de dados, caso quiséssemos substituir um dos valores coletados pela média aritmética.
O desvio padrão aparece junto à média aritmética, informando o quão “confiável” é esse valor. Ele é apresentado da seguinte forma:

média aritmética (x) ± desvio padrão (dp)
O cálculo do desvio padrão é feito a partir da raiz quadrada positiva da variância. Portanto:

dp = √var

Vamos agora aplicar o calculo da variância e do desvio padrão em um exemplo:

Em uma escola, a direção decidiu observar a quantidade de alunos que apresentam todas as notas acima da média em todas as disciplinas. Para analisar melhor, a diretora Ana resolveu montar uma tabela com a quantidade de notas “azuis” em uma amostra de quatro turmas ao longo de um ano. Observe a seguir a tabela organizada pela diretora:

Antes de calcular a variância, é necessário verificar a média aritmética (x) da quantidade de alunos acima da média em cada turma:

6° ano → x = 5 + 8 + 10 + 7 = 30 = 7,50.
4 4

7° ano → x = 8 + 6 + 6 + 12 = 32 = 8,00.
4 4

8° ano → x = 11 + 9 + 5 + 10 = 35 = 8,75.
4 4

9° ano → x = 8 + 13 + 9 + 4 = 34 = 8,50.
4 4

Para calcular a variância da quantidade de alunos acima da média em cada turma, utilizamos uma amostra, por isso empregamos a fórmula da variância amostral:

Var. amostral = (x₁ – x)² + (x₂ – x)² + (x₃ – x)² + ... + (x_n – x)²
n – 1

6° ano → Var = (5 – 7,50)² + (8 – 7,50)² + (10 – 7,50)² + (7 – 7,50)²
4 – 1

Var = (– 2,50)² + (0,50)² + (2,50)² + (– 0,50)²
3

Var = 6,25 + 0,25 + 6,25 + 0,25
3

Var = 13,00
3
Var = 4,33

7° ano → Var = (8 – 8,00)² + (6 – 8,00)² + (6 – 8,00)² + (12 – 8,00)²
4 – 1

Var = (0,00)² + (– 2,00)² + (– 2,00)² + (4,00)²
3

Var = 0,00 + 4,00 + 4,00 + 16,00
3

Var = 24,00
3
Var = 8,00

8° ano → Var = (11 – 8,75)² + (9 – 8,75)² + (5 – 8,75)² + (10 – 8,75)²
4 – 1

Var = (2,25)² + (0,25)² + (– 3,75)² + (1,25)²
3

Var = 5,06 + 0,06 + 14,06 + 1,56
3

Var = 20,74
3
Var = 6,91

9° ano → Var = (8 – 8,50)² + (13 – 8,50)² + (9 – 8,50)² + (4 – 8,50)²
4 – 1

Var = (– 0,50)² + (4,50)² + (0,50)² + (– 4,50)²
3

Var = 0,25 + 20,25 + 0,25 + 20,25
3

Var = 41,00
3
Var = 13,66

Conhecida a variância de cada turma, vamos calcular agora o desvio padrão:

6° ano

dp = √var
dp = √4,33
dp ≈ 2,08

7° ano

dp = √var
dp = √8,00
dp ≈ 2,83

8° ano

dp = √var
dp = √6,91
dp ≈ 2,63

9° ano

dp = √var
dp = √13,66
dp ≈ 3,70

Para concluir sua análise, a diretora pode apresentar os seguintes valores que indicam a quantidade média de alunos acima da média por turma pesquisada:

6° ano: 7,50 ± 2,08 alunos acima da média por bimestre;
7° ano: 8,00 ± 2,83 alunos acima da média por bimestre;
8° ano: 8,75 ± 2,63 alunos acima da média por bimestre;
9° ano: 8,50 ± 3,70 alunos acima da média por bimestre;

Como o desvio padrão é expresso na mesma unidade dos dados observados em estudo, comparar duas ou mais séries de valores que estão em unidades de medida diferentes torna-se impossível. Para sanar essas dificuldades, podemos analisar a dispersão em termos relativos a seu valor médio, utilizando o coeficiente de variação de Pearson.
O coeficiente de variação é dado pela fórmula:

Onde,

C_v → é o coeficiente de variação

s → é o desvio padrão

X ̅ → é a média dos dados

O coeficiente de variação é dado em %, por isso a fórmula é multiplicada por 100.

Observações:

O coeficiente de variação fornece a variação dos dados obtidos em relação à média. Quanto menor for o seu valor, mais homogêneos serão os dados. O coeficiente de variação é considerado baixo (apontando um conjunto de dados bem homogêneos) quando for menor ou igual a 25%. O fato de o coeficiente de variação ser dado em valor relativo nos permite comparar séries de valores que apresentam unidades de medida distintas.

Exemplo. Compare a variabilidade relativa do tempo de reação de um analgésico A com a variabilidade do peso das pessoas que se submeteram à dosagem desse analgésico. As médias e os desvios padrão foram:

Analgésico A: X ̅=3 min e s = 0,71

Peso das pessoas: X ̅=58,25 kg e s = 5,17

Solução: Vamos calcular o coeficiente de variação para cada item observado.

Cálculo para o tempo de reação do analgésico:

Cálculo para o peso das pessoas:

Comparando o coeficiente de variação do tempo de reação do analgésico e o do peso das pessoas, podemos concluir que os dados referentes ao peso são mais consistentes que os dados referentes ao tempo de reação do analgésico, ou ainda, que os dados referentes ao peso são mais homogêneos que os do tempo de reação do analgésico.

Vídeo Explicativo:

Medidas de Dispersão

Quartis, Decis e Percentis

Na estatística descritiva, um quartil é qualquer um dos três valores que divide o conjunto ordenado de dados em quatro partes iguais, e assim cada parte representa 1/4 da amostra ou população.

Assim, no caso duma amostra ordenada,

primeiro quartil (designado por Q_1/4) = quartil inferior = é o valor aos 25% da amostra ordenada = 25º percentil
segundo quartil (designado por Q_2/4) = mediana = é o valor até ao qual se encontra 50% da amostra ordenada = 50º percentil, ou 5º decil.
terceiro quartil (designado por Q_3/4) = quartil superior = valor a partir do qual se encontram 25% dos valores mais elevados = valor aos 75% da amostra ordenada = 75º percentil

Exemplo

Amostra:

\{ 6, 47, 49, 15, 42, 41, 7, 39, 43, 40, 36 \}

Amostra ordenada:

\{ 6, 7, 15, 36, 39, 40, 41, 42, 43, 47, 49 \}

Quartis
$\begin{cases} Q_1 = 15 \\ Q_2 = 40 \\ Q_3 = 43 \end{cases}$

Exemplo 2

Amostra ordenada:

\{ 7, 15, 36, 39, 40, 41 \}

Quartis
$\begin{cases} Q_1 = 15 \\ Q_2 = \frac{36 + 39}{2} = 37,5 \\ Q_3 = 40 \end{cases}$

Em estatística descritiva, os percentis são medidas que dividem a amostra ordenada (por ordem crescente dos dados) em 100 partes, cada uma com uma percentagem de dados aproximadamente igual. O k-ésimo percentil P_k é o valor x (x_k) que corresponde à frequência cumulativa de N .k/100, onde N é o tamanho amostral.

Portanto:

o 1º percentil determina o 1% menor dos dados; e
o 98º percentil determina os 98% menores dos dados.

O 25º percentil é o primeiro quartil; o 50º percentil é a mediana. De igual forma, o 10º percentil é o primeiro decil e o 80º percentil é o oitavo decil.

Formula :

Pi=l(inf)+ iN/100-F(ant))/fixAi

Vídeo Explicativo Quartis, Decis e Percentis

Gráfico Box-Plot:

O boxplot (gráfico de caixa) é um gráfico utilizado para avaliar a distribuição empírica do dados. O boxplot é formado pelo primeiro e terceiro quartil e pela mediana. As hastes inferiores e superiores se estendem, respectivamente, do quartil inferior até o menor valor não inferior ao limite inferior e do quartil superior até o maior valor não superior ao limite superior. Os limites são calculados da forma abaixo

Limite inferior: $\max\{\min(\text{dados});Q_1-1,5(Q_3-Q_1)\}$ .

Limite superior: $\min\{\max(\text{dados});Q_3+1,5(Q_3-Q_1)\}$ .

Para este caso, os pontos fora destes limites são considerados valores discrepantes (outliers) e são denotados por asterisco (*). A Figura a seguir apresenta um exemplo do formato de um boxplot.

O boxplot pode ainda ser utilizado para uma comparação visual entre dois ou mais grupos. Por exemplo, duas ou mais caixas são colocadas lado a lado e se compara a variabilidade entre elas, a mediana e assim por diante. Outro ponto importante é a diferença entre os quartis $(Q_3 - Q_1)$ que é uma medida da variabilidade dos dados.

Vídeo Explicativo:

Gráfico Box-Plot

Assimetria e Curtose

MEDIDAS DE FORMATO

As Medidas de Formato indicam o padrão da distribuição dos valores ao longo do intervalo contém o total dos dados.

Medidas de Assimetria

De acordo com Fonseca (2011) dá-se a nomenclatura de assimetria ao grau de afastamento de uma distribuição da unidade de assimetria.

Uma Distribuição é Simétrica quando seus valores de Média, Mediana e Moda coincidem. A comparação entre o valor da Média e o valor da Moda, dá, portanto, uma indicação da inclinação da distribuição.

A Média “puxa” a cauda da Distribuição para seu lado, em função de ser altamente sensível aos valores extremos da série de dados.

Existem várias fórmulas para o cálculo do coeficiente de assimetria, dentre elas, destacam-se:

Medidas de Curtose

Dá-se o nome de curtose ao grau de achatamento da distribuição:

(a) Quando a distribuição apresenta uma curva de frequência mais fechada (mais aguda em sua parte superior), ela é denominada Leptocúrtica (Lepto = Delgado, Alongado, Magro, etc.)

(b) A distribuição de referência (Distribuição Normal) é denominada Mesocúrtica (Meso = Meio, Central, etc.).

(c) Quando a distribuição apresenta uma curva de frequência mais aberta (mais achatada em sua parte superior), ela é denominada Platicúrtica (Plato = Chato, Plano, Largo, etc.).

Para medir o grau de curtose pode-se utilizar o seguinte coeficiente:

Vídeo Explicativo:

Medidas de assimetria

Diagrama de dispersão

Quando usar o diagrama de dispersão?

Para visualizar uma variável com outra e o que acontece se uma se alterar.
Para verificar se as duas variáveis estão relacionadas, ou se há uma possível relação de causa e efeito.
Para visualizar a intensidade do relacionamento entre as duas variáveis, e comparar a relação entre os dois efeitos.

Pré-requisito para construir um diagrama de dispersão?

Coletar dados sob forma de par ordenado, em tempo determinado, entre as variáveis que se deseja estudar as relações.

Como fazer um diagrama de dispersão?

Coletar os pares da amostra que poderão estar relacionados.
Construir os eixos, a variável causa no eixo horizontal e a variável efeito no eixo vertical.
Colocar os dados no diagrama. Se houver valores repetidos, trace um círculo concêntrico.
Adicionar informações complementares, tais como: nome das variáveis, período de coleta, tamanho da amostra e outros.

Diagrama de dispersão - Gráfico de dispersão da amostra

Vantagens do diagrama de dispersão

Permite a identificação do possível relacionamento entre variáveis consideradas numa análise;
Ideal quando há interesse em visualizar a intensidade do relacionamento entre duas variáveis;
Pode ser utilizado para comprovar a relação entre dois efeitos, permitindo analisar uma teoria a respeito de causas comuns.

Desvantagens do diagrama de dispersão

É um método estatístico complexo, que necessita de um nível mínimo de conhecimento sobre a ferramenta para que possa utilizá-la;
Exige um profundo conhecimento do processo cujo problema deseja-se solucionar;
Não há garantia de causa-efeito. Há necessidade de reunir outras informações para que seja possível tirar melhores conclusões.

COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO

Coeficiente de correlação indica a força e a direção do relacionamento linear entre as duas variáveis a ser estudada, sendo denotada por r. Vários coeficientes são utilizados para situações diferentes, tais como o coeficiente de correlação de Pearson e o coeficiente Linear.

COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR

Esse coeficiente serve para detectar padrões de lineares. (não vale para os padrões não lineares).

O valor de r estar sempre entre 1 e -1, ou seja −1 ≤ r ≤ 1

Se r está próximo de 1, há uma forte correlação positiva.
Se r está próximo a –1, há uma forte correlação negativa.
Se r está próximo de 0, não há correlação linear.

Em estatística ou econometria, regressão linear é uma equação para se estimar a condicional (valor esperado) de uma variável y, dados os valores de algumas outras variáveis x.

A regressão, em geral, trata da questão de se estimar um valor condicional não esperado.

A regressão linear é chamada "linear" porque se considera que a relação da resposta às variáveis é uma função linear de alguns parâmetros. Os modelos de regressão que não são uma função linear dos parâmetros se chamam modelos de regressão não-linear. Sendo uma das primeiras formas de análise regressiva a ser estudada rigorosamente, e usada extensamente em aplicações práticas. Isso acontece porque modelos que dependem de forma linear dos seus parâmetros desconhecidos, são mais fáceis de ajustar que os modelos não-lineares aos seus parâmetros, e porque as propriedades estatísticas dos estimadores resultantes são fáceis de determinar.

Modelos de regressão linear são frequentemente ajustados usando a abordagem dos mínimos quadrados, mas que também pode ser montada de outras maneiras, tal como minimizando a "falta de ajuste" em alguma outra norma (com menos desvios absolutos de regressão), ou através da minimização de uma penalização da versão dos mínimos quadrados. Por outro lado, a abordagem de mínimos quadrados pode ser utilizado para ajustar a modelos que não são modelos lineares. Assim, embora os termos "mínimos quadrados" e "modelo linear" estão intimamente ligados, eles não são sinônimos.